Le cours
1. Le théorème de Thalès
Le théorème de Thalès s'applique dans une configuration où deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles. Il affirme alors que les longueurs des segments correspondants sont proportionnelles.
Il permet de calculer une longueur inconnue grâce à l'égalité de rapports (des fractions égales).
Avec des parallèles, on obtient une égalité de rapports du type AM/AB = AN/AC.
2. Utiliser Thalès et les agrandissements
Grâce à l'égalité des rapports, on calcule une longueur manquante par un produit en croix. Thalès est aussi lié aux agrandissements et réductions : multiplier toutes les longueurs d'une figure par un même nombre (le rapport) la transforme à l'identique, en plus grand ou plus petit.
Les angles, eux, ne changent pas.
Un agrandissement de rapport 2 double toutes les longueurs, mais garde les mêmes angles.
3. La trigonométrie dans le triangle rectangle
La trigonométrie relie les angles et les longueurs d'un triangle rectangle. On définit trois rapports pour un angle aigu : le cosinus, le sinus et la tangente. Chacun est un rapport entre deux côtés (le côté adjacent, le côté opposé et l'hypoténuse).
Ces rapports permettent de calculer un angle ou un côté manquant.
cos, sin et tan relient un angle aigu et deux côtés d'un triangle rectangle.
4. Cosinus, sinus, tangente : les formules
Pour un angle aigu : le cosinus est le rapport côté adjacent sur hypoténuse ; le sinus, côté opposé sur hypoténuse ; la tangente, côté opposé sur côté adjacent.
À l'aide de la calculatrice, on peut alors trouver une longueur connaissant un angle, ou un angle connaissant deux longueurs.
cos(angle) = adjacent / hypoténuse ; sin = opposé / hypoténuse ; tan = opposé / adjacent.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Théorème de Thalès
- Dans une configuration de droites parallèles coupant deux sécantes, il donne l'égalité de rapports de longueurs.
- Trigonométrie
- L'étude des relations entre les angles et les longueurs dans un triangle rectangle.
- Cosinus, sinus, tangente
- Dans un triangle rectangle : cos = côté adjacent ÷ hypoténuse ; sin = côté opposé ÷ hypoténuse ; tan = côté opposé ÷ côté adjacent.
- Hypoténuse
- Le côté opposé à l'angle droit, toujours le plus long du triangle rectangle.
Explications détaillées
Le théorème de Thalès
Quand deux droites sont coupées par des parallèles, les longueurs sont proportionnelles. Dans un triangle OAB avec M sur [OA], N sur [OB] et (MN) parallèle à (AB) :
OM/OA = ON/OB = MN/AB.
Ce théorème sert à calculer une longueur inaccessible et à comprendre les agrandissements et réductions de figures.
La trigonométrie : relier angles et longueurs
Dans un triangle rectangle, cosinus, sinus et tangente relient un angle aigu aux longueurs des côtés. Un moyen de mémoriser : « SOH-CAH-TOA » — Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent.
Connaissant un angle et un côté, on peut calculer les autres côtés, et inversement retrouver un angle à partir de deux côtés.
Méthode pas à pas
Calculer une longueur avec la trigonométrie
- Repérer l'angle droit et nommer l'hypoténuse.
- Repérer, par rapport à l'angle connu, les côtés adjacent et opposé.
- Choisir la bonne relation (SOH-CAH-TOA) selon les côtés en jeu.
- Écrire l'égalité, puis isoler et calculer la longueur cherchée.
Exemple corrigé pas à pas
Trouver un côté avec le sinus
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 10 cm et un angle aigu vaut 30°. Calculer le côté opposé à cet angle.
- On connaît l'hypoténuse et on cherche le côté opposé : on utilise le sinus.
- sin(30°) = côté opposé ÷ hypoténuse.
- Donc côté opposé = hypoténuse × sin(30°) = 10 × 0,5.
- Le côté opposé mesure 5 cm.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre cosinus, sinus et tangente.On s'appuie sur SOH-CAH-TOA pour choisir la bonne relation selon les côtés concernés.
- Se tromper d'hypoténuse.L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit, et le plus long du triangle.
- Mal écrire les rapports de Thalès (intervertir numérateurs et dénominateurs).On respecte l'ordre : les longueurs d'un même « côté » de la figure vont ensemble (OM/OA = ON/OB).
Pour aller plus loin
Mesurer l'inaccessible
Thalès aurait mesuré la hauteur des pyramides grâce aux ombres et à la proportionnalité. Aujourd'hui, trigonométrie et théorème de Thalès permettent de calculer des hauteurs, des distances, de faire de la navigation, de la topographie et même du positionnement GPS. Ces outils antiques restent au cœur des technologies modernes.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Théorème de Thalès : avec deux droites parallèles coupant deux sécantes, les longueurs correspondantes sont proportionnelles (égalité de rapports).
- Thalès permet de calculer une longueur manquante par un produit en croix.
- Un agrandissement/réduction multiplie les longueurs par un même rapport, mais conserve les angles.
- La trigonométrie relie angles et longueurs dans un triangle rectangle (cosinus, sinus, tangente).
- cos = adjacent/hypoténuse ; sin = opposé/hypoténuse ; tan = opposé/adjacent.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Dans quel cas peut-on appliquer le théorème de Thalès ?
Thalès s'applique avec deux droites parallèles coupant deux sécantes : les longueurs deviennent proportionnelles.
Exercice 2Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal à…
CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse.
Exercice 3Que rappelle le moyen mnémotechnique « SOH » ?
SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse.
Exercice 4Lors d'un agrandissement de figure, les angles changent en même temps que les longueurs.
Faux : un agrandissement multiplie les longueurs, mais les angles restent identiques.
Exercice 5Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est égale à…
TOA : Tangente = Opposé / Adjacent.
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