Le cours
1. Pourquoi utiliser des lettres ?
En mathématiques, une lettre peut représenter un nombre inconnu, ou n'importe quel nombre. C'est très utile pour écrire une formule générale, valable dans tous les cas.
Par exemple, le périmètre d'un carré de côté c s'écrit 4 × c, quelle que soit la valeur de c : si c = 3 cm, le périmètre est 12 cm ; si c = 7 cm, il est 28 cm. Une seule formule remplace une infinité de calculs.
Les lettres servent aussi à énoncer des propriétés générales (comme a + b = b + a) et, plus tard, à résoudre des équations. C'est l'un des grands pas de l'algèbre : passer du calcul sur des nombres précis au calcul sur des nombres « en général ».
Périmètre d'un carré de côté c : P = 4 × c (vrai pour tout nombre c).
2. Les conventions d'écriture
Pour alléger l'écriture, on supprime souvent le signe « × » devant une lettre ou une parenthèse : 4 × c s'écrit 4c, a × b s'écrit ab, et 3 × (x + 1) s'écrit 3(x + 1). Un nombre collé à une lettre indique donc toujours une multiplication.
On écrit le nombre AVANT la lettre : on note 4c et non c4. Le signe × ne se supprime jamais entre deux nombres (3 × 5 reste 3 × 5, sinon on lirait « trente-cinq »).
Autres conventions : a × a s'écrit a² (a au carré), et 1 × a s'écrit simplement a. Bien maîtriser ces conventions rend tous les calculs suivants plus rapides et plus clairs.
4 × c = 4c ; 3 × (x + 2) = 3(x + 2) ; a × b = ab.
3. Calculer la valeur d'une expression
Pour calculer la valeur d'une expression littérale, on remplace la lettre par sa valeur : c'est ce qu'on appelle la substitution. On respecte ensuite scrupuleusement les priorités opératoires (parenthèses, puis multiplications/divisions, puis additions/soustractions).
Exemple simple : pour 4c quand c = 5, on calcule 4 × 5 = 20. Exemple avec priorités : pour 3x + 2 quand x = 4, on calcule 3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14 (la multiplication d'abord).
Une même expression prend des valeurs différentes selon la valeur de la lettre : c'est justement ce qui rend le calcul littéral si puissant. Attention à bien remettre le signe × au moment de remplacer.
Pour l'expression 2x + 3, si x = 4 : 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11.
4. La distributivité : développer une expression
La distributivité permet de transformer un produit en une somme. Pour multiplier un nombre par une parenthèse, on multiplie ce nombre par CHAQUE terme situé à l'intérieur : k(a + b) = ka + kb. C'est ce qu'on appelle développer.
Exemples : 3(x + 2) = 3x + 6 ; 5(2x + 4) = 10x + 20 ; 4(a − 3) = 4a − 12.
L'erreur classique est d'oublier de multiplier le second terme (écrire 3(x + 2) = 3x + 2). Il faut bien distribuer sur TOUS les termes. Cet outil est essentiel pour simplifier des expressions et prépare la factorisation et la résolution d'équations, au programme des classes suivantes.
3(x + 2) = 3 × x + 3 × 2 = 3x + 6.
Pour approfondir ce chapitrefacultatif
Définitions clés
- Expression littérale
- Un calcul qui contient une ou plusieurs lettres représentant des nombres, comme 3x + 5.
- Distributivité
- La règle k × (a + b) = k × a + k × b, qui permet de développer ou de factoriser.
- Développer
- Transformer un produit en somme : 3(x + 2) = 3x + 6.
- Tester une égalité
- Remplacer la lettre par un nombre pour vérifier si l'égalité est vraie pour cette valeur.
Explications détaillées
Pourquoi utiliser des lettres ?
Une lettre représente un nombre inconnu ou variable. Elle permet d'écrire des formules valables pour toutes les valeurs : le périmètre d'un carré de côté c s'écrit P = 4c, quel que soit c.
Conventions d'écriture : on ne met pas le signe × devant une lettre ou une parenthèse : 3 × x s'écrit 3x, et 2 × (a + 1) s'écrit 2(a + 1).
La distributivité, dans les deux sens
Développer : k(a + b) = ka + kb — on distribue k sur chaque terme.
Factoriser, c'est le chemin inverse : repérer le facteur commun et le mettre en avant. Exemple : 5x + 5 × 3 = 5(x + 3).
Méthode pas à pas
Développer une expression
- Repérer le facteur devant la parenthèse.
- Le multiplier par le premier terme de la parenthèse.
- Le multiplier par le second terme (attention aux signes).
- Écrire la somme obtenue et réduire si possible.
Exemple corrigé pas à pas
Développer 4(x + 3)
Développer puis réduire l'expression 4(x + 3) + 2x.
- On distribue : 4 × x = 4x et 4 × 3 = 12.
- Donc 4(x + 3) = 4x + 12.
- On ajoute 2x : 4x + 12 + 2x.
- On réduit : 4x + 2x = 6x, donc le résultat est 6x + 12.
Erreurs fréquentes à éviter
- Ne distribuer que sur le premier terme : 3(x + 2) = 3x + 2.On multiplie chaque terme de la parenthèse : 3(x + 2) = 3x + 6.
- Additionner des termes qui ne se ressemblent pas (3x + 2 = 5x).On n'ajoute que les termes « de même nature » : 3x + 2x = 5x, mais 3x + 2 ne se réduit pas.
- Écrire x2 pour 2x.Le nombre s'écrit devant la lettre : 2x (et x² signifie x × x, autre chose).
Pour aller plus loin
Vers l'algèbre
Le calcul littéral est la porte d'entrée de l'algèbre, développée notamment par les mathématiciens arabes au Moyen Âge (le mot vient d'« al-jabr »). En 4ᵉ et 3ᵉ, tu t'en serviras pour résoudre des équations, c'est-à-dire trouver la valeur cachée derrière la lettre.
Ce qu'il faut absolument retenir
Ce qu'il faut absolument retenir
- Une expression littérale contient une ou plusieurs lettres représentant des nombres.
- On supprime le signe × devant une lettre ou une parenthèse : 4 × c = 4c ; a × b = ab.
- Pour calculer la valeur d'une expression, on remplace la lettre par sa valeur (substitution), puis on respecte les priorités.
- Distributivité : k(a + b) = ka + kb (on multiplie le facteur par chaque terme).
- Développer, c'est transformer un produit en somme grâce à la distributivité.
Vérifie ta compréhension
Exercice 1Comment écrit-on plus simplement 4 × c ?
On supprime le signe × devant la lettre : 4 × c s'écrit 4c.
Exercice 2Quelle est la valeur de l'expression 2x + 3 quand x = 4 ?
On remplace x par 4 : 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11.
Exercice 3Développe 3(x + 2).
Par distributivité : 3 × x + 3 × 2 = 3x + 6.
Exercice 4L'expression 3(x + 2) est égale à 3x + 2.
Faux : il faut multiplier le 3 par les DEUX termes. 3(x + 2) = 3x + 6.
Exercice 5Comment écrit-on a × b sans le signe × ?
On colle les lettres : a × b s'écrit ab.
L'essentiel en images
